כללי
- נתון
- כלל המעבר
- חיבור / חיסור גדלים שווים לגדלים שווים
זוויות
- זוויות צמודות סכומן 180 מעלות
- זוויות קודקודיות שוות זו לזו
- זוויות שצמודות לזוויות שוות - שוות בעצמן
ישרים מקבילים
- כל זוג זוויות מתאימות בין מקבילים שוות זו לזו
- כל זוג זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו
- כל זוג זוויות חד-צדדיות בין מקבילים סכומן 180
משולשים
- סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
משולשים חופפים – (משולשים בעלי זוויות וצלעות שוות)
- משפט חפיפה – צ.ז.צמשפט חפיפה – ז.צ.ז
- משפט חפיפה – צ.צ.צ
- משפט חפיפה - צ.צ.ז (הזווית מול הצלע הגדולה מבין השתיים)
- משפט חפיפה – צ.ז.ז (שימושו לא אהוד לפי חוזר מפמ"ר)
משולש שווה שוקיים
- במשולש שווה שוקיים שוות זוויות הבסיס (במשולש מול צלעות שוות זוויות שוות ולהפך)
- אם במשולש שתי זוויות שוות אז הוא שווה שוקיים
- במשולש שווה שוקיים מתלכדים הגובה לבסיס, התיכון לבסיס וחוצה זווית הראשאם במשולש מתלכדים שניים מהקטעים הבאים: חוצה זווית, גובה, תיכון אז הוא שווה שוקיים
משולש שווה צלעות
- המשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות (במשולש מול צלעות שוות זוויות שוות ולהפך)
- אם במשולש כל הזוויות שוות (ל-60 מעלות) אז הוא שווה צלעות
משולש ישר זווית
- במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית
- אם במשולש התיכון לצלע שווה למחציתה אז המשולש הוא ישר זווית (והתיכון עובר דרך הזווית הישרה)
- במשולש ישר זווית שבו אחת הזוויות שווה ל-30 מעלות הניצב שמולה שווה למחצית היתר
- אם במשולש ישר זווית הניצב שווה למחצית היתר אז מולו יש זווית בת 30 מעלות
אי שוויונים במשולש
- במשולש מול צלע גדולה יותר יש זווית גדולה יותר ולהפך
- במשולש סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית
קטעים מיוחדים במשולש
- שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת
- שלושת הגבהים במשולש נפגשים בקודה אחת
- שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת
- נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון לשני חלקים ביחס 1:2 כך שהחלק הגדול יותר קרוב לקודקוד
משפט פיתגורס
- במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
מרובעים
זויות
- סכום הזוויות במרובע הוא 360 מעלות
הדלתון
הגדרה: הדלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף
- האלכסון הראשי בדלתון - חוצה את זוויות האש
- האלכסון הראשי בדלתון - חוצה את האלכסון המשני
- האלכסון הראשי בדלתון - מאונך לאלכסון המשני
כיצד מוכיחים כי מרובע הוא דלתון?
- מרובע שמורכב מזוג משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף הוא דלתון
המקבילית
הגדרה: המקבילית היא מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות
- במקבילית - כל שתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו (לפי הגדרת המקבילית)
- במקבילית - כל שתי כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו
- במקבילית - כל שתי זוויות סמוכות סכומן 180 מעלות
- במקבילית - כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו
- במקבילית - האלכסונים חוצים זה את זה
כיצד מוכיחים כי מרובע הוא מקבילית ?
- אם במרובע שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות אז הוא מקבילית
- אם במרובע שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו אז הוא מקבילית
- אם במרובע זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אז הוא מקבילית
- אם במרובע כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו אז הוא מקביליתאם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה אז הוא מקבילית
המלבן
הגדרה: המלבן הוא מרובע בו כל הזוויות שוות / המלבן הוא מקבילית בעלת תוספת של התכונות הבאות...
תכונות:
- במלבן – כל הזוויות שוות ל-90 מעלות
- במלבן – האלכסונים שווים
- במלבן – חצאי האלכסונים שווים
כיצד מוכיחים שמרובע הוא מלבן?
- אם במרובע כל הזוויות שוות אז הוא מלב
- ןאם במקבילית האלכסונים שווים אז הוא מלבן
- אם במקבילית זווית אחת ישרה אז הוא מלבן
המעוין
הגדרה: המעוין הוא מרובע בו כל הצלעות שוות / המעוין הוא מקבילית בעלת תוספות של התכונות הבאות...
- כל הצלעות שוות זו לזו
- האלכסונים במעוין חוצים את הזוויות
- האלכסונים במעוין מאונכים זה לזה
כיצד מוכיחים כי מרובע הוא מעוין?
- אם במרובע כל הצלעות שוות אז הוא מעוין
- אם במקבילית יש שתי צלעות סמוכות שוות אז היא מעוין
- אם במקבילית אלכסון הוא חוצה זווית אז היא מעוין
- אם במקבילית האלכסונים מאונכים זה לזה אז היא מעוין
הריבוע
הגדרה: הריבוע הוא מרובע בו כל הצלעות וכל הזווית שוות / הריבוע הוא מקבילית עם תוספת של תכונות המלבן והמעוין יחדיו
תכונות: אין תכונות חדשות, לריבוע יש את כל תכונות המלבן ואת כל תכונות המעוין ובוודאי את כל תכונות המקבילית
כיצד מוכיחים כי מרובע הוא ריבוע?
כיצד מוכיחים כי מרובע הוא ריבוע?
- אם במרובע כל הצלעות וכל הזוויות שוותאם במלבן יש שתי צלעות סמוכות שוות אז הוא ריבוע
- אם במלבן אחד האלכסונים הוא חוצה זווית אז הוא ריבוע
- אם במלבן האלכסונים מאונכים זה לזה אז הוא ריבוע
- אם במעוין האלכסונים שוויםאם במעוין יש זווית אחת ישרה אז הוא ריבוע
הטרפז
הגדרה: הטרפז הוא מרובע בעל זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות (בסיסים) וזוג של צלעות נגדיות שאינן מקבילות (שוקיים)
ישנם שלושה סוגי טרפזים:
- טרפז רגיל
- טרפז ישר זווית (טרפז בעל זווית ישרה)
- טרפז שווה שוקיים (טרפז בעל שוקיים שוות)
תכונות טרפז שו"ש:
- השוקיים שוות
- זוויות הבסיס שוות
- סכום כל שתי זווית נגדיות הוא 180 מעלות
- האלכסונים שווים
כיצד מוכיחים כי מרובע הוא טרפז?
- אם במרובע זוג צלעות נגדיות מקבילות וזוג שאינן מקבילות אז הוא טרפז
- אם במרובע זוג צלעות נגדיות מקבילות שאינן שוות אז הוא טרפז
כיצד מוכיחים כי מרובע הוא טרפז שו"ש?
- אם בטרפז השוקיים שוות אז הוא טרפז שו"ש
- אם בטרפז זוויות הבסיס (עליון או תחתון) שוות אז הוא טרפז שו"ש
- אם בטרפז יש זוג זוויות נגדיות שסכומן 180 מעלות אז הוא טרפז שו"ש
- אם בטרפז האלכסונים שווים זה לזה אז הוא טרפז שו"ש
קטעי אמצעים
תכונות: קטע אמצעים
- יוצא מאמצע צלע (במשולש) / שוק (בטרפז)
- מגיע לאמצע צלע (במשולש) / שוק (בטרפז)
- מקביל לצלע אותה הוא לא חוצה (במשולש) / מקביל לבסיסים (בטרפז)
- שווה למחצית הצלע אותה הוא לא חוצה (במשולש) / למחצית סכום הבסיסים (בטרפז)
משפטי נימוק :
- במשולש , קטע החוצה צלע אחת וחוצה צלע שנייה אזי מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה
- בטרפז , קטע החוצה שוק אחת וחוצה שוק שנייה אזי מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם
- במשולש, קטע החוצה צלע אחת ומקביל לשנייה שווה למחציתה וחוצה גם את הצלע השלישית.
- בטרפז, קטע החוצה שוק ומקביל לבסיס חוצה גם השוק השנייה
מעגל
כללי
אם זוג מהגדלים הבאים שווה אז כל הזוגות המתאימים האחרים שווים ביניהם גם כן:
- זוויות מרכזיות
- זוויות היקפיות
- מיתרים
- קשתות
דוגמא: אם יש שתי קשתות שוות אז המיתרים המתאימים להם שוויון, הזווית ההיקפיות הנשענות עליהן שוות והזוויות המרכזיות הנשענות עליהן שוות. ( הערה: אם יש שני מיתרים שווים יש לשים לב שהזוויות ההיקפיות תהיינה מאתו צד על מנת לקבל שוויון )
זוויות
- זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה ← על זווית היקפית ישרה נשען קוטר
- זווית מרכזית גדולה פי שתיים מהזווית ההיקפית המתאימה לה
משיקים
- זווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית שנשענת על המיתר מצדו השני
- זווית הכלואה בין משיק לרדיוס היא זווית ישרה ← ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק
- אם מנקודה אחת יוצאים שני משיקים למעגל אז –
- הם שווים
- הקטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה זו חוצה את הזווית שבין המשיקים
מיתרים
- קטע היוצא ממרכז המעגל ומאונך למיתר חוצה אותו ואת הזווית המרכזית והקשת המתאימה לו
- קטע היוצא ממרכז המעגל לאמצע מיתר – מאונך לו (משפט הפוך למשפט הקודם)
- אנך אמצעי עובר דרך מרכז המעגל (גם כן משפט הפוך למשפט הקודם)
- מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל ולהפך
- מרחקו של מיתר ממרכז המעגל גדל ככל שהמיתר קטן ולהפך
מעגלים חוסמים וחסומים
- מרכז המעגל החוסם משולש הוא במפגש האנכים האמצעים של המשולש
- מרכז המעגל החסום במשולש הוא במפגש חוצי הזוויות של המשולש
- במרובע חסום במעגל כל זוג זוויות נגדיות מסתכמות ל-180 מעלות ← אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות מסתכמות ל-180 מעלות אז הוא בר חסימה במעגל
- במרובע שחוסם מעגל סכום זוג צלעות נגדיות אחד שווה לסכום בזוג השני ← אם במרובע סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא בר חסימה במעגל
שטחים
- משולש – בסיס כפול גובה חלקי שתיים
- מקבילית – צלע כפול גובהה
- מלבן – אורך כפול רוחב (מכפלת זוג צלעות סמוכות)
- ריבוע – ריבוע צלעו
- טרפז – סכום הבסיסים כפול הגובה חלקי שתיים
- מרובע שאלכסוניו מאונכים (מעוין, ריבוע, דלתון) – מחצית מכפלת אלכסוניו
- במשולש, התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים השווים בשטחם.
- במקבילית, האלכסונים מחלקים את המקבילית לאבעה משולשים שווי שטח
פרופורציה ודמיון
משפט תלס – ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים
תלס הפוך – שני ישרים החותכים שוקי זווית ומקצים עליהן קטעים פרופורציוניים הם מקבילים
למשפט תלס יש שתי הרחבות
- טלס שעון חול
- טלס משולשים
משפט חוצה זווית – חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול בזווית לשני חלקים ביחס השווה ליחס שבין שוקי (צלעות) הזווית הנחצית
משפט הפוך למשפט חוצה זווית – אם קטע היוצא מקודקוד במשולש מחלק את הצלע שמולו לשני חלקים המתייחסים שה לזה כיחס שווה שבין שתי צלעות המשולש (שיוצאות מהקודקוד) אז הקטע הוא חוצה זווית במשולש (בשביל נימוק לטענה ניתן להשתמש פשוט ב "משפט הפוך לחוצה זווית")
משולשים דומים – משולשים בעלי זווית שוות וצלעות פרופורציוניות
משפטי דמיון: צ.ז.צ / ז.ז / צ.צ.צ / צ.צ.ז
במשולשים דומים יחס הצלעות שווה גם ליחס בין :
- חוצי הזווית המתאימות
- הגבהים המתאימים
- התיכונים המתאימים
- היקפי המשולשים
- רדיוסי המעגלים החוסמים והחסומים
מיוחדים
- יחס השטחים של משולשים דומים שווה ליחס הצלעות בריבוע
- שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל מחלקים זה את זה לשני חלקים שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי השני
- אם מנקודה מחץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל אז מכפלת החותך האחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני
- אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה למשיק בריבוע
- במשולש ישר זווית הגובה ליתר שווה לממוצע ההנדסי של היטלי הניצבים על היתר
- במשולש ישר זווית ניצב הוא הממוצע ההנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר
